Question

2．从直线l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1上任意一点P向椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1引切线PA，PB，切点分别为A，B，试求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出点P坐标，以两椭圆上两切点坐标，先用切点坐标结合待定系数法表示出两条切线方程，代入点P的坐标后根据同一性得出切点弦AB所在直线的方程是$\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1$，将切点弦直线的斜率用两种方式表示出来，再根据利用同一性得出等式，确定出直线OP与切点弦AB的交点为线段AB的交点为线段AB的中点M（x，y），从而建立起方程组 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}x}{{x}_{0}}}\\{\frac{{x}_{0}}{12}+\frac{{y}_{0}}{8}=1}\end{array}\right.$，得出点M的坐标所满足的方程，即所求的轨迹方程．

解答 解：设直线l上一点P（x₀，y₀），切点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的点坐标为M（x，y），
∴$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
则切线PA方程为$\frac{{x}_{1}x}{24}+\frac{{y}_{1}y}{16}=1$，切线PB的方程是$\frac{{x}_{2}x}{24}+\frac{{y}_{2}y}{16}=1$
将P（x₀，y₀）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}{x}_{0}}{24}+\frac{{y}_{1}{y}_{0}}{16}=1}\\{\frac{{x}_{2}{x}_{0}}{24}+\frac{{y}_{2}{y}_{0}}{16}=1}\end{array}\right.$，
∴切点弦AB所在直线的方程是$\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1$
①当x₀，y₀都不为0时，有K_AB=$-\frac{{2}x_{0}}{3{y}_{0}}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{2}x_{0}}{3{y}_{0}}$，又A，B两点在椭圆上，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{24}+\frac{{y}_{1}{\;}^{2}}{16}=1}\\{\frac{{x}_{2}{\;}^{2}}{24}+\frac{{y}_{2}{\;}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，
相减得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{2}{3}$，∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，即K_OM=K_OP，
∴直线OP与切点弦AB的交点为线段AB的交点为线段AB的中点M（x，y）
②x₀，y₀都为0时，上述结论K_OM=K_OP也是成立的．
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{24}+\frac{{y}_{0}y}{16}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}x}{{x}_{0}}}\\{\frac{{x}_{0}}{12}+\frac{{y}_{0}}{8}=1}\end{array}\right.$，得$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{16}=\frac{x}{12}+\frac{y}{8}$，
化简整理得$\frac{（x-1）^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{（y-1）^{2}}{\frac{5}{3}}=1$
所以点M的轨迹是以（1，1）为中心，长短半轴长分别为$\frac{\sqrt{10}}{2}，\frac{\sqrt{15}}{3}$，且长轴与x轴平行的椭圆（去掉坐标原点）

点评 本题考查了直线与椭圆的综合问题，曲线外一条直线上的一点作出曲线的两条切线，研究两切点弦所在直线方程问题常用同一性，这是本题解答的关键，得出K_OM=K_OP，确定出点M的具体位置以利于建立方程组得轨迹方程，此种思路在求轨迹方程的题中也经常用到，要通过本题仔细体会这一规律．本题属于难题中的难题，要认真总结其规律，以利于在以后答题过程中参考．