Question

7．一张长方形纸片ABCD，AB=8cm，AD=6cm，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段MN）将纸片分成两部分，面积分别为S₁ cm²，S₂ cm²，（S₁≤S₂）其中点A在面积为S₁的部分内．记折痕长为lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S₁的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x²+y²=16．利用不等式即可求得S₁的最大值；
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32，按三种情形进行讨论：根据S₁的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围．

解答 解：如图所示，折痕有下列三种情形：
①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；
②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；
③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．

（1）在情形②、③中MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．
设AM=xcm，AN=ycm，则x²+y²=16．               …（2分）
因为x²+y²≥2xy，当且仅当x=y时取等号，
所以S₁=$\frac{1}{2}$xy≤4，当且仅当x=y=2$\sqrt{2}$时取等号．
即S₁的最大值为4．                                 …（5分）
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48．
因为S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32．
当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则$\frac{1}{2}$xy=16，即y=$\frac{32}{x}$．
由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤8\\ 0≤\frac{32}{x}≤6\end{array}$得$\frac{16}{3}$≤x≤8．
所以l=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3{2}^{2}}{{x}^{2}}}$，$\frac{16}{3}$≤x≤8．                 …（8分）
设f（x）=x²+$\frac{3{2}^{2}}{{x}^{2}}$，x＞0，则f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}+32）（x+4\sqrt{2}）（x-4\sqrt{2}）}{{x}^{3}}$，x＞0．故

x	$\frac{16}{3}$	（$\frac{16}{3}$，4$\sqrt{2}$）	4$\sqrt{2}$	（4$\sqrt{2}$，8）	8
f′（x）		-	0	+
f（x）	64$\frac{4}{9}$	↘	64	↗	80

所以f（x）的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4$\sqrt{5}$]；   …（11分）
当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，则$\frac{1}{2}$（x+y）×6=16，即y=$\frac{16}{3}$-x．
由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤8\\ 0≤\frac{16}{3}-x≤8\end{array}$得0≤x≤$\frac{16}{3}$．
所以l=$\sqrt{{6}^{2}+（x-y）^{2}}$，0≤x≤$\frac{16}{3}$．
所以l的范围为[6，$\frac{2\sqrt{145}}{3}$]；                       …（13分）
当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，则$\frac{1}{2}$（x+y）×8=16，即y=4-x．
由$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤6\\ 0≤4-x≤6\end{array}$得0≤x≤4．
所以l=$\sqrt{{8}^{2}+4（x-2）^{2}}$，0≤x≤4．
所以l的取值范围为[8，4$\sqrt{5}$]．
综上，l的取值范围为[6，4$\sqrt{5}$]．                    …（16分）
（注：只要函数表达式正确，定义域未求或是求错，不影响答案的，各扣一分）

点评 本题考查利用导数、不等式求函数的最值，考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．