Question

9．已知正数x、y满足log₂（x-2y）+log₂（x+2y）=2，则z=x-y最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意，得出x、y的关系式，以及x²-4y²=4，画出图象，得到当目标函数和双曲线相切时，z有最小值，构造方程组，利用判别式即可求出

解答 解：∵log₂（x-2y）+log₂（x+2y）=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2y＞0}\\{x+2y＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞2y}\\{x＞-2y}\end{array}\right.$
且log₂（x²-4y²）=2=log₂4，
∴x²-4y²=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
则点（x，y）在如图所示的双曲线的右支上，
∴当目标函数x=y+z与双曲线相切时，z有最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4{y}^{2}=4}\\{x=y+z}\end{array}\right.$，
∴（y+z）²-4y²=4，
∴3y²-2yz+4-z²=0，
∴△=4z²-12（4-z²）=0，
解得z=$\sqrt{3}$，z=-$\sqrt{3}$（舍去）
∴z=x-y最小值为$\sqrt{3}$，
故选：C

点评 本题考查了对数的运算性质以及双曲线的性质，线性规划，属于中档题．