Question

4．已知等差数列{a_n}的首项为a₁=1，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*），函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线在x轴上的截距为3-$\frac{1}{ln2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线方程，即可求出a₂的值，继而求出公差，
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得b_n，再利用裂项求前n项和，需要分类讨论．

解答 解：（1）由f（x）=2^x得f'（x）=2^xln2…（1分）
函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线斜率为$k=f'（{a_2}）={2^{a_2}}ln2$…（2分）
切线方程为$y-{b_2}=（{2^{a_2}}ln2）（x-{a_2}）$…（3分）
所以切线在x轴上的截距为${a_2}-\frac{1}{ln2}$，…（4分）
从而${a_2}-\frac{1}{ln2}=3-\frac{1}{ln2}$，
故a₂=3，所以公差d=a₂-a₁=2…（5分），
{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（6分）
$（2）{b_n}={（-1）^{n-1}}\frac{4n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}={（-1）^{n-1}}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$…（7分）
$当n为偶数时，{T_n}=（1+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）-…+（\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}）-（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$…（10分）
$当n为奇数时，{T_n}=（1+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）-…-（\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}）+（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=1+\frac{1}{2n+1}=\frac{2n+2}{2n+1}$…（13分）
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2n}{2n+1}，n为偶数\\ \frac{2n+2}{2n+1}，n为奇数\end{array}\right.$…（14分）

点评 本题考查等差数列的概念，前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题