Question

19．设a∈R，若x≤0时，恒有（ax+1）（x²-x-2a）≤0，则a=1．

Answer 1

分析 分a=0，a＞0和a＜0三种情况讨论，然后结合一次函数和二次函数的性质求得满足不等式恒成立的a值．

解答 解：要使（ax+1）（x²-x-2a）≤0在x≤0时恒成立，
分三种情况讨论：
当a=0时，不等式左边化为x²-x≤0，不满足题意；
当a＞0时，y=ax+1与x轴交点为（$-\frac{1}{a}，0$），要使（ax+1）（x²-x-2a）≤0在x≤0时恒成立，
则需y=x²-x-2a与x轴有交点，且左交点为（$-\frac{1}{a}，0$），代入y=x²-x-2a，得$（-\frac{1}{a}）^{2}+\frac{1}{a}-2a=0$，
整理并因式分解得：（a+1）（a-1）（2a+1）=0，解得：a=1或a=-1（舍）或a=-$\frac{1}{2}$（舍）；
当a＜0时，在x≤0时，y=ax+1＞0恒成立，而y=x²-x-2a对应的图象开口向上，不满足在x≤0时，
x²-x-2a≤0恒成立．
综上，满足条件的a值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了一次函数和二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．