Question

17．已知以椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的一个顶点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形为正三角形，且面积为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，且原点O到直线l的距离为1，问：是否存在这样的直线l，使OP⊥OQ？若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得到关于a，b，c的关系式，结合隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）由原点O到直线l的距离为1，分三类设出直线l的方程，当l的斜率不存在和斜率为0时直接求出P，Q的坐标，说明不满足OP⊥OQ，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系得到P，Q两点的横纵坐标的和与积，由原点到直线的距离等于1得到m与k的关系，代入x₁x₂+y₁y₂不等于0，说明不存在直线l，使OP⊥OQ．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，a=2c，bc=$\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²，求得$a=2，b=\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题意可得直线l的方程为x=±1，
不妨取x=1，代入椭圆方程可得y=$±\frac{3}{2}$，则P（$1，-\frac{3}{2}$），Q（$1，\frac{3}{2}$），
此时不满足OP⊥OQ；
当直线l的斜率为0时，由题意可得直线l的方程为y=±1，
不妨设y=1，代入椭圆方程可得x=$±\frac{2}{3}\sqrt{6}$，则P（$-\frac{2}{3}\sqrt{6}，1$），Q（$\frac{2}{3}\sqrt{6}，1$），
此时不满足OP⊥OQ；
当直线l的斜率存在且不等于0时，设直线l的方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=$\frac{4{m}^{2}{k}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}+\frac{3{m}^{2}+4{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∵$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，∴m²=k²+1，代入上式得：
${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-5{k}^{2}-5}{3+4{k}^{2}}＜0$．
∴OP⊥OQ不成立．
综上，不存在这样的直线l，使OP⊥OQ．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线方程，然后借助于一元二次方程根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．