Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）}&{（x＞0）}\end{array}\right.$，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 利用分段函数通过讨论f（a）≤0，f（a）＜0，分别求解a的范围即可．

解答 解：由题意可知，当f（a）≤0时，f²（a）+f（a）+2≤2，解得-1≤f（a）≤0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）}&{（x＞0）}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\-1≤{a}^{2}+a+2≤0\end{array}\right.$无解．或$\left\{\begin{array}{l}a＞0&\\-1≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（a+1）&≤0\end{array}\right.$，解得0＜a＜1；
当f（a）＞0时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}（f（a）+1）$≤2，解得-$\frac{3}{4}$≤f（a），函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）}&{（x＞0）}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\-\frac{3}{4}≤{a}^{2}+a+2\end{array}\right.$，解得a≤0．或$\left\{\begin{array}{l}a＞0&\\-\frac{3}{4}≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（a+1）&\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\root{4}{8}$-1；
综上a＜1．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查分段函数的应用，考查分类讨论以及对数不等式的解法，考查计算能力．