Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为y=2x+b，圆C的方程为（x+2）²+（y-1）²=16．
（1）若直线l与圆C相切，求b的值；
（2）若直线l与圆C有两个交点A，B，以A，B与圆心C为顶点的三角形的面积最大时，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l与圆C相切知$\frac{|2×（-2）-1+b|}{\sqrt{4+1}}$=4，从而解得；
（2）由（1）知圆心C到AB的距离等于$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$，由勾股定理可求得|AB|=2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$；从而表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$×$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{-[（b-5）^{2}-40]^{2}+1600}$，从而求最值及最值点．

解答 解：（1）因为直线l与圆C相切，
所以$\frac{|2×（-2）-1+b|}{\sqrt{4+1}}$=4，
解得：b=5±4$\sqrt{5}$．
所以，b的值为5±4$\sqrt{5}$．
（2）由（1）知圆心C到AB的距离等于$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$，
由勾股定理可求得：|AB|=2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$；
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$×$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{-[（b-5）^{2}-40]^{2}+1600}$，
所以，当（b-5）²-40=0时，S_△ABC取得最大值8，此时，b=5±2$\sqrt{10}$．
结合（1）及5±2$\sqrt{10}$∈（5-4$\sqrt{5}$，5+4$\sqrt{5}$），
所以，b=5±2$\sqrt{10}$符合题意．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题．