Question

5．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥平面ABCD，AB=SD=2，BC=2$\sqrt{2}$点M为BC的中点
（1）证明；AC⊥平面SDM；
（2）求二面角B-SM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，通过$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DS}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DM}$=0，及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面SMD的一个法向量与平面BSM的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 （1）证明：由SD⊥平面ABCD，得SD⊥DA，SD⊥DC，
又底面ABCD为矩形，∴DA、DC、DS两两垂直，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz如图，
由题可得A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2），M（$\sqrt{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{2}$，2，0），$\overrightarrow{DS}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DM}$=（$\sqrt{2}$，2，0），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DS}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DM}$=-2$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$+2•2=0，
∴AC⊥DS，AC⊥DM，
又DS∩DM=D，∴AC⊥平面SDM；
（2）解：由（1）得$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{2}$，2，0）为平面SMD的一个法向量，
设平面BSM的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MS}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-2y+2z=0}\\{-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角B-SM-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查空间中线面垂直的判定及求二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题．