Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其半焦距为C，圆M的方程为（x-$\frac{5c}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$c²．
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F₁QF₂=$\frac{11}{16}$，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=$\frac{\sqrt{31}}{3}$（O为坐标原点），求圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）是圆（x-$\frac{5c}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$c²上的任意一点，直接由两点间的距离公式求得|PF₁|、|PF₂|，代入$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$利用圆的方程消去y后整理得答案；
（2）在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圆上，设|QF₂|=x，则|QF₁|=2x，椭圆半长轴长为$\frac{3}{2}x$，然后利用余弦定理求得x，则可得到a，c的关系，椭圆离心率可求；
（3）由（2）知，x=$\frac{4}{3}c$，即|QF₂|=$\frac{4}{3}c$，则|QF₁|=$\frac{8}{3}c$，然后结合$|\overrightarrow{QO}{|}^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{Q{F}_{1}}+\overrightarrow{Q{F}_{2}}{|}^{2}$求得c的值，则圆M的方程可求．

解答 （1）证明：设P（x，y）是圆（x-$\frac{5c}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$c²上的任意一点，
$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{\frac{（x+c）^{2}+{y}^{2}}{（x-c）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{16{c}^{2}}{9}-{x}^{2}+\frac{10cx}{3}-\frac{25{c}^{2}}{9}+{x}^{2}+2cx+{c}^{2}}{\frac{16{c}^{2}}{9}-{x}^{2}+\frac{10cx}{3}-\frac{25{c}^{2}}{9}+{x}^{2}-2cx+{c}^{2}}}$=2．
∴$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$是定值2；
（2）解：在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圆上，设|QF₂|=x，则|QF₁|=2x，椭圆半长轴长为$\frac{3}{2}x$，4c²=x²+4x²-4x²×$\frac{11}{16}$，16c²=9x²，x=$\frac{4}{3}c$．
则a=$\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×\frac{4}{3}c=2c$，e=$\frac{1}{2}$；
（3）解：由（2）知，x=$\frac{4}{3}c$，即|QF₂|=$\frac{4}{3}c$，则|QF₁|=$\frac{8}{3}c$．
$|\overrightarrow{QO}{|}^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{Q{F}_{1}}+\overrightarrow{Q{F}_{2}}{|}^{2}$=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{Q{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{Q{F}_{2}}{|}^{2}+2|\overrightarrow{Q{F}_{1}}||\overrightarrow{Q{F}_{2}}|cos∠{F}_{1}Q{F}_{2}）$
=$\frac{1}{4}（\frac{64}{9}{c}^{2}+\frac{16}{9}{c}^{2}+2•\frac{32}{9}•\frac{11}{16}{c}^{2}）=\frac{31}{9}{c}^{2}$，
由于|OQ|=$\frac{\sqrt{31}}{3}$，∴c=1，
∴圆M的方程为（x-$\frac{5}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查椭圆的性质、定义、圆的有关性质及其运算，解三角形等，考查了计算能力，难度较大．