Question

19．博彩公司对2015年NBA总决赛做了大胆的预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为$\frac{1}{2}$，第5，6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率将为$\frac{2}{5}$，第7场，马刺队因为有多次打第七场的经验，所以胜利的概率为$\frac{3}{5}$．
（1）分别求出马刺队以4：0，4：1，4：2，4：3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；
（2）随机变量X为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设马刺队以4：0，4：1，4：2，4：3胜利的概率分别为P₀，P₁，P₂，P₃，然后直接利用独立重复试验的概率求解；最后由互斥事件的概率和求得马刺队获得冠军的概率；
（2）由题意可知，X为4，5，6，7．再由独立重复试验及互斥事件的概率求得概率，列出频率分布表，代入期望公式求得期望．

解答 解：（1）设马刺队以4：0，4：1，4：2，4：3胜利的概率分别为P₀，P₁，P₂，P₃，
则${P}_{0}=（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{1}{16}$；${P}_{1}={C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{2}{5}$=$\frac{1}{10}$；
${P}_{2}={C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{3}{5}•\frac{2}{5}+{C}_{4}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{3}{25}$；
${P}_{3}=[{C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•（\frac{3}{5}）^{2}+{C}_{4}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•{C}_{2}^{1}•\frac{2}{5}•\frac{3}{5}+{C}_{4}^{1}•\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{3}•（\frac{2}{5}）^{2}]•\frac{3}{5}$=$\frac{39}{500}$．
∴马刺队获得冠军的概率是$\frac{1}{10}+\frac{3}{25}+\frac{39}{500}=\frac{149}{500}$；
（2）由题意可知，X为4，5，6，7．
则P（X=4）=$2×（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{1}{8}$，
P（X=5）═$\frac{1}{10}+{C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{3}{5}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=6）=$\frac{3}{25}+{C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{2}{5}•\frac{3}{5}+{C}_{4}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{51}{200}$，
P（X=7）=$\frac{37}{100}$．
随机变量X的分布列为：

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{51}{200}$	$\frac{37}{100}$

∴EX=$4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{4}+6×\frac{51}{200}+7×\frac{37}{100}$=$\frac{589}{100}$．

点评 本题考查了相互独立事件、独立重复试验及其概率，考查了离散型随机变量及其分布，考查了离散型随机变量期望的求法，是中档题．