Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，动点M在直线l上，线段MF的中垂线为m，则直线m与抛物线C交点的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 无法确定

Answer 1

分析 设出M坐标，求出中点坐标，然后求出中垂线方程，与抛物线方程联立，求解即可．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}，0$），准线为l，x=$-\frac{p}{2}$，
动点M在直线l上，设M（$-\frac{p}{2}，t$），线段MF的中点坐标（0，$\frac{t}{2}$），MF的斜率：$\frac{t-t}{-\frac{p}{2}-0}$=-$\frac{t}{p}$，
中垂线为m的斜率为：$\frac{p}{t}$，中垂线方程为：y-$\frac{t}{2}$=$\frac{p}{t}x$．
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{t}{2}=\frac{p}{t}x\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$，可得${y}^{2}=2t（y-\frac{t}{2}）$，即（y-t）²=0，解得y=t，
方程组只有一个解．
所以直线m与抛物线C交点的个数为：1．
故选：B．

点评 本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．