Question

20．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₄的等差中项是5$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用等比数列以及等差中项求出a₁；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）和函数的图象求出函数的解析式，通过余弦定理求出β的值，然后利用两角和与差的正切函数求出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）∵公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₄的等差中项是5$\sqrt{3}$，
∴2a₁+8a₁=10$\sqrt{3}$，∴a₁=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）函数y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π的一部分图象如图所示，
M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，-$\sqrt{3}$）为图象上的两点，
∴$\frac{π}{4}$×（-1）+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{3π}{4}$．
∵点M、N在函数图象上，如图，连接MN，记∠MPN=β，
则在△MPN中，由余弦定理得
cosβ=$\frac{|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}-|MN{|}^{2}}{2|PM||PN|}$=$\frac{4+12-28}{8\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵0＜β＜π，∴β=$\frac{5}{6}π$，
∴φ-β=$\frac{3π}{4}$-$\frac{5}{6}π$=-$\frac{π}{12}$，
∴tan（φ-β）=-tan$\frac{π}{12}$=-tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=-2+$\sqrt{3}$．

点评 本题是一道数列与三角函数的综合题，涉及到等差中项的性质、两角和的正切公式、余弦定理等知识，属于中档题．