Question

8．根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3，5，9，17，33；
（2）$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{15}$，$\frac{6}{35}$，$\frac{8}{63}$，$\frac{10}{99}$；
（3）2，-6，12，-20，30，-42；
（4）0，5，0，5，0，5；
（5）1，0，1，0，1；
（6）9，99，999，9999；
（7）7，77，777，7777．

Answer 1

分析 （1）由5-3=2，9-5=2²，17-9=2³，33-17=2⁴，利用“累加求和”可得；
（2）由于分子为2n，分母为（2n）²-1，可得通项公式；
（3）其符号为（-1）ⁿ⁺¹，其绝对值满足：6-2=4，12-6=6，20-12=8，30-20=10，42-30=12，即可得出通项公式；
（4）由偶数项为0，奇数项为5可得：${a}_{n}=5×\frac{1+（-1）^{n}}{2}$；
（5）由偶数项为1，奇数项为1可得${a}_{n}=\frac{1+（-1）^{n+1}}{2}$；
（6）9，99，999，9999，分别写为：10-1，10²-1，10³-1，10⁴-1，即可得出通项公式；
（7）由（6）可得：${a}_{n}=\frac{7}{9}（1{0}^{n}-1）$．

解答 解：（1）∵5-3=2，9-5=2²，17-9=2³，33-17=2⁴，∴a_n=1+2ⁿ；
（2）$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{15}$，$\frac{6}{35}$，$\frac{8}{63}$，$\frac{10}{99}$，可得：分子为2n，分母为（2n）²-1，于是通项公式为a_n=$\frac{2n}{（2n）^{2}-1}$；
（3）2，-6，12，-20，30，-42，其符号为（-1）ⁿ⁺¹，其绝对值满足：6-2=4，12-6=6，20-12=8，30-20=10，42-30=12，可得a_n=（-1）ⁿ（n²+n）；
（4）0，5，0，5，0，5，可得：${a}_{n}=5×\frac{1+（-1）^{n}}{2}$；
（5）1，0，1，0，1，可得${a}_{n}=\frac{1+（-1）^{n+1}}{2}$；
（6）9，99，999，9999，分别写为：10-1，10²-1，10³-1，10⁴-1，于是其通项公式为：${a}_{n}=1{0}^{n}-1$；
（7）7，77，777，7777，由（6）可得：${a}_{n}=\frac{7}{9}（1{0}^{n}-1）$．

点评 本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．