Question

19．芜湖市争创“全国文明城市”工作于2015年伊始进入攻坚阶段，其中一项重要考核内容是普通市民对“社会主义核心价值观”知晓情况．教育部门特组织n名在校学生（包括小学生、初中生和高中生）作为调查对象，其中小学生有$\frac{2}{5}$n人；从这n名学生中任意选2名，则至少有1名初中生的概率是$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）若n=10，从n名学生中任意选3人，得到初中生的人数记为ξ，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ；
（Ⅱ）记“从n名学生当中任意选2人，至少有1名小学生”为事件A，求P（A）的最大值．

Answer 1

分析 （I）设这n名学生中有初中生、高中生分别有x，y人，则x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．当n=10时，代入上式化简可得：小学生、初中生和高中生人数分别为4，5，1．
ξ的取值可能为0，1，2，3．再利用“超几何分别”可得分布列及其数学期望．
（II）设这n名学生中有初中生、高中生分别有x，y人，则x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．n为5的正正整数倍，n=5不满足上式，因此n最小值为10．又P（A）=$\frac{{∁}_{\frac{2}{5}n}^{1}{∁}_{\frac{3}{5}n}^{1}+{∁}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$，利用其单调性即可得出．

解答 解：（I）设这n名学生中有初中生、高中生分别有x，y人，则x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．
当n=10时，x+y=6，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{10-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．化为（x-5）（x-14）=0，又x＜6，解得x=5，
∴y=1．
∴n=10时，小学生、初中生和高中生人数分别为4，5，1．
ξ的取值可能为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{5}^{2}{∁}_{5}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
（II）设这n名学生中有初中生、高中生分别有x，y人，则x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．
n为5的正正整数倍，n=5不满足上式，因此n最小值为10．
又P（A）=$\frac{{∁}_{\frac{2}{5}n}^{1}{∁}_{\frac{3}{5}n}^{1}+{∁}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{16{n}^{2}-10n}{25{n}^{2}-25n}$=$\frac{16n-10}{25n-25}$=$\frac{2}{25}（8+\frac{3}{n-1}）$≤$\frac{2}{25}（8+\frac{3}{9}）$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了分层抽样、古典概率计算公式、组合数的计算公式、“超几何分布”的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．