Question

14．已知函数f（x）=2ax+$\frac{2a-1}{x}$+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念，建立方程，求出a，再求解f（x）的单调递增区间即可；
（II）由题意对函数求导，利用函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，可得$\frac{1-2a}{2a}≥$0，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax+$\frac{2a-1}{x}$+lnx，
∴f′（x）=2a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=2a-$\frac{2a-1}{4}$+$\frac{1}{2}$=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{-（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$
由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得f（x）的单调递增区间是（0，2）；
（Ⅱ）f′（x）=2a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（2ax+1-2a）}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，
∴$\frac{1-2a}{2a}≥$0，
∴0≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的求导及极值的概念，还考查了求其单调区间，属于中档题．