Question

4．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）若a＞0，讨论函数f（x）的极值
（Ⅱ）若对于任意a∈（3，5）及任意x₁，x₂∈[1，3]，恒有ma³-aln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，讨论①当a=1时，②当a＞1时，③当0＜a＜1时，讨论函数的单调性，即可得到极值；
（Ⅱ）确定f（x）在[1，3]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得m＞$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，令g（a）=$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，判断单调性，从而可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx的导数为：
f′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
①当a=1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，无极值；
②当a＞1时，当x＞a或0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（a，+∞）递增，
当1＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）递减，
即有f（x）在x=1处取得极大值-a-$\frac{1}{2}$，在x=a处取得极小值-a-$\frac{1}{2}$a²+alna；
③当0＜a＜1时，当x＞1或0＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）在（0，a），（1，+∞）递增，
当a＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（a，1）递减，
即有f（x）在x=1处取得极小值-a-$\frac{1}{2}$，在x=a处取得极大值-a-$\frac{1}{2}$a²+alna．
（Ⅱ）当a∈（3，5）时，f（x）在[1，3]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=3时，f（x）有最小值．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=-4+2（a+1）-aln3，
∴ma³-aln3＞-4+2（a+1）-aln3，
而a＞0经整理得m＞$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，令g（a）=$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{a}^{3}}$，g′（a）=$\frac{6-4a}{{a}^{4}}$，
由3＜a＜5得，g′（a）＜0，g（a）在（3，5）递减，
所以m≥g（3）=$\frac{4}{27}$．
即有m的取值范围是[$\frac{4}{27}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．