Question

13．已知函数f（x）=ax²-4ln（x-1）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=1时，f（x）=x²-4ln（x-1）（x＞1），f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-2）}{x-1}$，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间；
（II）对一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立?a≤$[\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}]_{min}$，x∈[2，e+1]．令u（x）=$\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}$，x∈[2，e+1]，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．

解答 解：（I）当a=1时，f（x）=x²-4ln（x-1）（x＞1），f′（x）=2x-$\frac{4}{x-1}$=$\frac{2（x+1）（x-2）}{x-1}$，
当x＞2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）单调递增区间是（2，+∞）；函数f（x）单调递减区间是（1，2）．
（II）对一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立?a≤$[\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}]_{min}$，x∈[2，e+1]．
令u（x）=$\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}$，x∈[2，e+1]，
u′（x）=$\frac{\frac{4{x}^{2}}{x-1}-2x（2+4ln（x-1））}{{x}^{4}}$=$\frac{4x-8-8ln（x-1）}{{x}^{3}}$，
令v（x）=4x-8-8ln（x-1），x∈[2，e+1]，
v′（x）=4-$\frac{8}{x-1}$=$\frac{4x-12}{x-1}$，
当x∈[2，3）时，v′（x）＜0，此时函数v（x）单调递减；当x∈（3，e+1]时，v′（x）＞0，此时函数v（x）单调递增．
而v（2）=0，v（e+1）=4（e+1）-8-8=4（e-3）＜0，
∴u′（x）≤0（只有x=2时取等号），
∴函数u（x）单调递减，
∴当x=e+1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（e+1）=$\frac{8}{（e+1）^{2}}$．
∴a$≤\frac{8}{（e+1）^{2}}$，即为a的取值范围．

点评 本题考查了利用导数研究闭在区间上函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．