Question

8．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明EM⊥BF；
（2）请在图中作出平面ABC与平面BEF的交线（不要求证明）
（3）求平面BEF和平面ABC所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，由线面垂直得到结果．
（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，则BG即为所求交线．
（3）过C作CH⊥BG，连接FH．做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解答 解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．
∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，$\frac{FC}{EA}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF，
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，则BG即为平面ABC与平面BEF的交线．
（3）过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．
∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=$\sqrt{3}$，
由$\frac{FC}{EA}$=$\frac{GC}{GA}$=$\frac{1}{3}$，得GC=2．
∵BG=$\sqrt{B{M}^{2}+M{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又∵△GCH∽△GBM，
∴$\frac{GC}{BG}$=$\frac{CH}{BM}$，则CH=$\frac{GC•BM}{BG}$=$\frac{2•\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=1．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．