Question

10．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的范围是[-2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$+2]．

Answer 1

分析 如图所示，A（-1，-1），B（1，-1）．设P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=（2，0）•（$\sqrt{2}$cosθ+1，$\sqrt{2}$sinθ+1）=2$\sqrt{2}$cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，A（-1，-1），B（1，-1）．
设P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=（2，0）•（$\sqrt{2}$cosθ+1，$\sqrt{2}$sinθ+1）
=2$\sqrt{2}$cosθ+2，
∵-1≤cosθ≤1，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的范围是[-2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$+2]，
故答案为：[-2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$+2]．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．