Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，且2a，2b，3c成等比数列．设F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，过F₂的直线与y轴右侧椭圆相交于M，N两点，直线F₁M，F₁N分别与直线x=4相交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F₂PQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆短轴长为2$\sqrt{3}$及2a，2b，3c成等比数列，计算可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为：x=ty+1 （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用韦达定理，三角形面积公式及换元法计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为$b=\sqrt{3}$，所以6ac=12，即ac=2，
又a²-3=c²，所以a²=4，c²=1，
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设直线MN的方程为：x=ty+1 （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1化简得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，△=144（t²+1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${l}_{{F}_{1}M}$：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$（x+1），
令x=4，得P（4，$\frac{5{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$），同理Q（4，$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$），
所以${S}_{△PQ{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•3|$\frac{5{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$|=$\frac{15}{2}$|$\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{（t{y}_{1}+2）（t{y}_{2}+2）}$|=180|$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{16-9{t}^{2}}$|，
令μ=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，则μ∈[1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），则${S}_{△PQ{F}_{2}}$=180×$\frac{μ}{25-9{μ}^{2}}$，
∵y=$\frac{x}{25-9{x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{x}-9x}$在[1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是增函数，
所以当μ=1，即t=0时，$（{S}_{△PQ{F}_{2}}）_{min}$=$\frac{45}{4}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．