Question

17．实数α，β满足$\left\{\begin{array}{l}{（α-1）^{3}+2007（α-1）=-1}\\{（β-1）^{3}+2007（β-1）=1}\end{array}\right.$，则α+β的值是2．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x³+2007x，判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性的性质建立方程关系即可．

解答 解：构造函数f（x）=x³+2007x，
则f（x）为奇函数，且为增函数，
由条件知f（α-1）=（α-1）³+2007（α-1）=-1，
则f（1-α）=1，
∵f（β-1）=（β-1）³+2007（β-1）=1，
∴f（1-α）=f（β-1），
∴1-α=β-1，
即α+β=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．综合考查函数的性质的应用．