Question

12．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²-2x+1；
（1）求函数曲线在x=0处的切线方程；
（2）函数f（x）不单调，求参数a的范围；
（3）曲线C：y=f（x）与（1）中的切线只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；
（2）求出函数f（x）的定义域，化简f′（x）的表达式，将条件转化为：f′（0）=0有解，对讨论a与0的关系，根据导数与函数的单调性，以及二次函数的图象与性质，分别列出不等式组，求出a的取值范围；
（2）将条件转化为：方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与0、$\frac{1}{2}$的大小，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性与特殊的函数值，分别求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．

解答 解：（1）由题意得，$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax-2$，且f（0）=1，
所以曲线在x=0处的切线斜率k=f′（0）=-1，
则曲线在x=0处的切线方程是y-1=-x，即x+y-1=0；
（2）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），且$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax-2$=$\frac{2a{x}^{2}+（2a-2）x-1}{x+1}$，
因为函数f（x）不单调，所以f′（0）=0有解，
即2ax²+（2a-2）x-1=0在（-1，+∞）上有解，
①当a=0时，方程为-2x-1=0，得x=$-\frac{1}{2}$＞-1，成立，
②当a≠0时，函数y=2ax²+（2a-2）x-1的对称轴x=$-1+\frac{1}{a}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4（a-1）^{2}+8a＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{f（-1）=2a-（2a-2）-1＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞0或a＜0，
综上可得，参数a的范围是R；
（3）由（1）得，切线与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于
方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），x∈（-1，+∞），
∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0，
则h′（x）=2ax-1+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{2a{x}^{2}+（2a-1）x}{x+1}$=$\frac{x（2ax+2a-1）}{x+1}$，
①当a=0时，h′（x）=-$\frac{x}{x+1}$=0，得x=0，
∵当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，当x＞0时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴x=0是函数h（x）的极大值点，也是方程h（x）=0的唯一解；
②当a≠0时，则h′（x）=$\frac{x（2ax+2a-1）}{x+1}$=0，解得x=0或x=$\frac{1}{2a}$-1，
（i）当a＜0时，$\frac{1}{2a}-1＜-1$，
∴当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，当x＞0时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
则x=0是函数h（x）的极大值点，也是方程h（x）=0的唯一解；
（ii）当a＞0时，
若a=$\frac{1}{2}$，则h′（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}≥0$（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
若0＜a＜$\frac{1}{2}$，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1＞0，列表如下：

∴h（$\frac{1}{2a}$-1）＜h（0）=0，而h（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+ln（\frac{1}{a}+1）$＞0，
∴方程h（x）=0在（$\frac{1}{2a}-1$，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；
若a＞$\frac{1}{2}$，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}-1$∈（-1，0），
同理可得方程h（x）=0在（-1，$\frac{1}{2a}-1$）上还有一解，
则h（x）=0解不唯一，
综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤0或a=$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义以及图象问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了构造法和求导判断函数的单调性的应用，以及学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．