Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC=2
（I）求证：AC⊥CD；
（Ⅱ）点E在棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离．

Answer 1

分析 （I）证明CD⊥平面PAC，可得AC⊥CD；
（Ⅱ）作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平面EAD．因为BC∥AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，CF即为点C到平面EAD的距离，利用等面积可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD=90°，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC．…（4分）
（Ⅱ）解：因为PA=AB=AC=2，E为PC的中点，
所以AE⊥PC，AE=$\sqrt{2}$．
由（Ⅰ）知AE⊥CD，所以AE⊥平面PCD．
作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平面EAD．
因为BC∥AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，
CF即为点C到平面EAD的距离．…（8分）
在Rt△ECD中，CF=$\frac{CE×CD}{DE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以，点B到平面EAD的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的性质与判定，考查点B到平面EAD的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．