Question

11．已知椭圆的左右焦点为F₁、F₂，点A（2，$\sqrt{2}$）在椭圆上，且AF₂与x轴垂直，求过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 由题意求出椭圆方程，然后求出和OA平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA的距离转化为原点O到切线的距离，则三角形AOB面积的最大值可求．

解答 解：由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
则B为椭圆上除（$2，\sqrt{2}$），（-2，-$\sqrt{2}$）外的点．
要使△AOB面积最大，则B到OA所在直线距离最远，
设与OA平行的直线方程为$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并化简得${x}^{2}+\sqrt{2}bx+{b}^{2}-4=0$．
由$△=（\sqrt{2}b）^{2}-4（{b}^{2}-4）=0$，解得b=±$2\sqrt{2}$．
不妨取b＞0，
∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$．
化为一般式得：$\sqrt{2}x-2y+4\sqrt{2}=0$．
则B到直线OA的距离等于O到直线$\sqrt{2}x-2y+4\sqrt{2}=0$的距离，等于$\frac{|4\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-2）^{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
又|OA|=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴△AOB面积的最大值为$S=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．