Question

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点F₁，F₂，D为椭圆上任意一点，△DF₁F₂面积的最大值为1，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求椭圆E的方程；
（2）设T为直线x=2上任意一点，过右焦点F₂作直线TF₂的垂线交椭圆E于点P，Q，线段PQ中点为N，证明：O，N，T三点共线（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由△DF₁F₂面积的最大值为1，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\frac{1}{2}×2c×b$=1即bc=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，解出即可；
（2）设TF₂的斜率为k，k=0时成立．当k≠0时，直线F₂T的方程为：y=k（x-1），可得T（2，k），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：k_PQ=$-\frac{1}{k}$．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点N（x₀，y₀）．利用“点差法”可得$\frac{{x}_{0}}{2}+{k}_{PQ}•{y}_{0}$=0，可得k_ON，只要证明k_OT=k_ON，即可．

解答 （1）解：∵△DF₁F₂面积的最大值为1，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×2c×b$=1即bc=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，
联立解得b=c=1，a²=2．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）证明：设TF₂的斜率为k，k=0时成立．
当k≠0时，直线F₂T的方程为：y=k（x-1），可得T（2，k），
∴k_OT=$\frac{k}{2}$．
∵F₂T⊥PQ，
∴k_PQ=$-\frac{1}{k}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点N（x₀，y₀）．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}$=1，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{2}+（{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}）$=0，
∴$\frac{{x}_{0}}{2}+{k}_{PQ}•{y}_{0}$=0，

∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2{k}_{PQ}}$=$\frac{k}{2}$=k_ON，
∴k_OT=k_ON，
∴三点O，N，T共线．
综上可得：三点O，N，T共线．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、线段中点坐标公式、“点差法”、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．