Question

1．如图，在三棱柱ABC-₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁CC₁，BC=$\sqrt{2}$，AB=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，点E为棱BB₁的中点
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点E到平面ACC₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥BC₁，在△CBC₁中，由余弦定理求解C₁B=$\sqrt{2}$，然后证明BC⊥BC₁，利用直线与平面垂直的判定定理证明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）点E到平面ACC₁的距离等于点B到平面ACC₁的距离，利用等体积，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：因为BC=$\sqrt{2}$，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，
在△BCC₁中，由余弦定理，可求得C₁B=$\sqrt{2}$，
所以C₁B²+BC²=C₁C²，C₁B⊥BC．
又AB⊥侧面BCC₁B₁，故AB⊥BC₁，
又CB∩AB=B，所以C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：易知BB₁∥平面ACC₁，又点E在BB₁上，
所以点E到平面ACC₁的距离等于点B到平面ACC₁的距离．
在Rt△ABC中，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，所以AC=$\sqrt{6}$．
同理可求得AC₁=$\sqrt{6}$．
设点B到平面ACC₁的距离为d，在四面体C₁-ABC中，
${V}_{B-AC{C}_{1}}={V}_{A-BC{C}_{1}}$，即$\frac{1}{3}$${S}_{△AC{C}_{1}}$×d=$\frac{1}{3}$${S}_{△BC{C}_{1}}$×AB，
所以$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5}$×d=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×2，解得d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
即点E到平面ACC₁的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．