Question

10．某地矩形社会主义核心价值观知识竞赛，有甲、乙、丙、丁四支代表队进入到最后的决赛，决赛规则如下：对每个队最多进行五轮比赛，若某轮回答正确，则下一轮继续，若某轮回答错误，下一轮要参加比赛争取复活机会，规定：若下轮回答正确比赛继续，若下轮回答又错误则该队就结束比赛，共有5轮、4轮、3轮回答正确的代表队分别为一等奖、二等奖、三等奖，奖金依次为100元、80元、60元，每轮各代表队回答正确的概率均为$\frac{1}{2}$，且互不影响．
（Ⅰ）求甲队获奖的概率；
（Ⅱ）求甲队获得奖金ξ（元）的数学期望及本次活动该地应预算的奖金．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲队获奖，说明甲队至少有3轮回答正确，然后分别求出甲队回答正确5轮、4轮、3轮的概率，再由互斥事件的概率加法公式得答案；
（Ⅱ）求出甲队不获奖的概率，然后列出甲队获得奖金的分布列，代入期望公式求期望，最后由y=E（4ξ）求得本次活动该地应预算的奖金．

解答 解：（Ⅰ）甲获一等奖的概率为${P}_{1}={C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}=\frac{1}{32}$，
甲获二等奖的概率${P}_{2}={C}_{5}^{4}•\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{5}{32}$，
经列举，甲获三等奖的概率${P}_{3}=7×（\frac{1}{2}）^{5}=\frac{7}{32}$．
∴甲获奖的概率为P=$\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{7}{32}=\frac{13}{32}$；
（Ⅱ）甲队获得的奖金ξ，ξ可取100，80，60，0，
甲队未获奖的概率为1-P=$\frac{19}{32}$，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	100	80	60	0
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{19}{32}$

∴Eξ=$100×\frac{1}{32}+80×\frac{5}{32}+60×\frac{7}{32}+0×\frac{19}{32}=\frac{115}{4}$．
∴该地应预算的奖金为y=E（4ξ）=4×$\frac{115}{4}=115$（元）．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及其期望，考查相互独立事件及其概率计算公式，是中档题．