Question

5．已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）．
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）若f（x）＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，求导函数，利用x=1是函数y=f（x）的极值点，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间，求出最大值，即可得出结论．

解答 解：（1）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$
因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a²=0，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=1，
因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，f（x）=lnx＜0在定义域内不恒成立；
若a≠0，则a＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+a-2a²x=$\frac{1+ax-2{a}^{2}{x}^{2}}{x}$=$\frac{（2ax+1）（-ax+1）}{x}$．
由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜$\frac{1}{2a}$；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞$\frac{1}{2a}$；
∴函数的单调增区间为（0，$\frac{1}{2a}$）；单调减区间为（$\frac{1}{2a}$，+∞）．
∴x=$\frac{1}{2a}$时取得最大值f（$\frac{1}{2a}$），
∴ln$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{4}$＜0，
∴a＞$\frac{{e}^{\frac{1}{4}}}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．