Question

20．为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．
（I）已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示．请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（Ⅱ）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如表：

零件评分结果所在区间	（40，50]	（50，60]
每个零件个数被修复的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$

假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的评分结果
为（单位：分）：38，43，45，52，58，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用频率分布直方图的性质可得：10×（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得a=0.04．平均数$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×a+85×0.02+95×0.03）=82．由图可知：前两个矩形的面积之和=10×（0.01+0.04）=0.5，即可得出中位数0．
（II）由题意可知：评分结果在（40，50]，（50，60]内零件各有2个，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式即可得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵10×（0.01+0.02+0.03+a）=1，
∴a=0.04．
∴平均数$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82．
由图可知：前两个矩形的面积之和=10×（0.01+0.04）=0.5，
∴中位数为80．
（II）由题意可知：评分结果在（40，50]，（50，60]内零件各有2个，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（X=1）=${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{∁}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{∁}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$．

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{9}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{6}$+4×$\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式、分布列、数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．