Question

9．某校举行乒乓球友谊赛高三一班的三个同学分别与二班的三个同学对阵，已知每一场比赛一班同学胜二班同学的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求两个班级的同学都至少胜一场的概率；
（2）求一班获胜场数的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“两个班级的同学都至少胜一场”为事件A，其对立事件为：一班3场都胜或3场都输了，利用P（A）=1-P$（\overline{A}）$即可得出．
（2）设一班获胜场数为X，由题意可得：X=0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设“两个班级的同学都至少胜一场”为事件A，
则P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-（$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$）=$\frac{13}{16}$．
（2）设一班获胜场数为X，由题意可得：X=0，1，2，3．
P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{3}{32}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$+$（1-\frac{3}{4}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{4}）$+$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$1-（\frac{3}{32}+\frac{13}{32}+\frac{3}{32}）$=$\frac{13}{32}$．
其分布列为：x的分布列为

x	0	1	2	3
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{3}{32}$

E（X）=$0×\frac{3}{32}$+1×$\frac{13}{32}$+$2×\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{32}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、相互独立、对立与互斥事件的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．