Question

4．设区域Ω内的点（x，y）满足 $\left\{\begin{array}{l}{x^2+y^2+6x+6y+2＜0}\\{x^2-y^2+6x-6y＜0}\end{array}\right.$，则区域Ω的面积是8π；若x，y∈Z，则2x+y的最大值是-2．

Answer 1

分析 作出区域Ω的图形，利用线性规划知识的应用及圆的面积、直线方程中截距的几何意义，可求得答案．

解答 解：区域Ω内的点（x，y）满足 $\left\{\begin{array}{l}{x^2+y^2+6x+6y+2＜0}\\{x^2-y^2+6x-6y＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（x+3）}^{2}{+（y+3）}^{2}＜16}\\{（x+y+6）（x-y）＜0}\end{array}\right.$，则区域Ω如图：
由于方程为y=x+y+6与y=x的两直线均经过（x+3）²+（y+3）²=16的圆心O′（-3，-3），且两者垂直，
∴阴影部分的面积为圆O′面积的$\frac{1}{2}$，即S_阴影=$\frac{1}{2}$×π×4²=8π；
（2）∵x，y∈Z，令z=2x+y，显然，当直线y=-2x+z经过（-1，0）时，z的值最大，
即2x+y的最大值是-2．
故答案为：8π；-2．

点评 本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查线性规划的应用，突出考查作图能力，属于中档题．