Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，cosθ），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值，并求出这时θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐标关系得到θ的三角函数值，求θ；
（2）利用θ表示向量的和，然后求模，利用三角函数恒等变形化简，求最值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$即sin2θ=$-\frac{1}{2}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），所以2θ=$-\frac{π}{6}$，$θ=-\frac{π}{12}$；
（2）由已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（sinθ+$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$+cosθ），
所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（sinθ+$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$+cosθ）²=$\frac{3}{2}$+sinθ-cosθ=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，因为θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
所以$（θ-\frac{π}{4}）∈（-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}）$，所以[$\frac{3}{2}+\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$]∈[$\frac{3}{2}-\sqrt{2}，\frac{5}{2}$]，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，这时θ的值-$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了向量的数量积坐标运算以及向量模的求法；关键是利用θ表示向量的模，通过三角函数恒等变形求最值．