Question

10．已知a，b∈R，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx．
（1）若函数f（x）的图象过点P（1，$\frac{4}{3}$），且在点P处的切线斜率是3，求a，b的值；
（2）若x=-1是函数f（x）的极大值点，且x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为-$\frac{2}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得f（1）=$\frac{4}{3}$，f′（1）=3，解方程可得a，b；
（2）求出导数，运用韦达定理得另一极值点，得到f（x）的单调区间，对a讨论，①当1-2a≥2，②当1-2a＜2
求得最小值的情况，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2ax+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+a+b=\frac{4}{3}}\\{1+2a+b=3}\end{array}\right.$，
解得，a=1，b=0；       
（2）f′（x）=x²+2ax+b，
由题知f′（-1）=0，即有b=2a-1，
由韦达定理得另一极值点为x=-b=1-2a，
故1-2a＞-1，解得a＜1．
f（x）在（-∞，-1）内递增，在（-1，1-2a）内递减，
在（1-2a，+∞）内递增，
①当1-2a≥2，即a≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）在[-1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=8a+$\frac{2}{3}$=-$\frac{2}{3}$，得a=-$\frac{1}{6}$，舍去．   
②当1-2a＜2，即-$\frac{1}{2}$＜a＜1时，
f（x）_min=f（1-2a）=$\frac{1}{3}$（1-2a）³+a（1-2a）²-（1-2a）²=$\frac{1}{3}$（1-2a）²（a-2）=-$\frac{2}{3}$，
得a（2a-3）²=0，
∴a=0或a=$\frac{3}{2}$（舍去）         
综上，a=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．