Question

15．已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AD=1，SA=AB=BC=2．
（Ⅰ）求异面直线AB与SC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-SD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法即可求求异面直线AB与SC所成角的余弦值；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A-SD-C的余弦值．

解答 解：以A为坐标原点O，建立空间直角坐标系O-xyz．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），S（0，0，2）．…（1分）
（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）=2（1，0，0）$，$\overrightarrow{SC}=（2，2，-2）=2（1，1，-1）$，
$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{SC}＞=\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{SC}}}{{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{SC}|}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以异面直线AB与SC所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）$\overrightarrow{SC}=（2，2，-2）=2（1，1，-1）$，$\overrightarrow{DC}=（2，1，0）$．…（5分）
设平面SCD的法向量为$\vec m=（x，y，z）$，则 $\vec m•\overrightarrow{SC}=0$，$\vec m•\overrightarrow{DC}=0$．
用坐标表示，得 （x，y，z）•（1，1，-1）=0，（x，y，z）•（2，1，0）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x+y=0\end{array}\right.$，令x=1，得$\vec m=（1，-2，-1）$．…（7分）
$\overrightarrow{SA}=（0，0，-2）=2（0，0，-1）$，$cos＜\vec m，\overrightarrow{SA}＞=\frac{{\vec m•\overrightarrow{SA}}}{{|\vec m||\overrightarrow{SA}|}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
所以直线SA与平面SCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（9分）
（Ⅲ）平面SCD的法向量$\vec m=（1，-2，-1）$，
平面SAD的法向量$\vec n=（1，0，0）$．…（10分）
$cos＜\vec m，\vec n＞=\frac{\vec m•\vec n}{|\vec m||\vec n|}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（11分）
由图形可知二面角A-SD-C的大小为钝角，
所以二面角A-SD-C的余弦值为$-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查空间角的求解，利用向量法是解决异面直线所成角以及直线和平面所成角，二面角的基本方法．