Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知AA₁=2，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）当E点为棱CC₁的中点时，求A₁C₁与平面A₁B₁E所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知和余弦定理可得BC₁的长度，由勾股定理可判C₁B⊥BC，由线面垂直的判定定理可得；（2）由题意易得△A₁B₁E和△C₁B₁E的面积，由等体积法可得点C₁到平面A₁B₁E的 距离为d，设A₁C₁与平面A₁B₁E所成的角为θ，可得sinθ的值．

解答 解：（1）∵AB⊥侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁．
∵在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理有$B{C_1}=\sqrt{B{C^2}+C{C_1}^2-2•BC•C{C_1}•cos∠BC{C_1}}$
=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos\frac{π}{3}}=\sqrt{3}$．
故有$B{C^2}+BC_1^2=CC_1^2$，∴C₁B⊥BC，
又BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；
（2）∵E点为棱CC₁的中点，
∴EC₁=1，B₁C₁=1，∠EC₁B₁=120°，
则${B_1}E=\sqrt{3}$，又A₁B₁⊥面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥B₁E，
∴${S_{△{A_1}{B_1}E}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
且${S_{△{C_1}{B_1}E}}=\frac{1}{2}×1×1×sin120°=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
设点C₁到平面A₁B₁E的 距离为d，
则由等体积法得：${V_{{A_1}-E{C_1}{B_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}E{B_1}}}$
即$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{2}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×d$，∴$d=\frac{1}{2}$，
又${A_1}{C_1}=\sqrt{{A_1}{B_1}^2+{B_1}{C_1}^2}=\sqrt{3}$，
设A₁C₁与平面A₁B₁E所成的角为θ，
则$sinθ=\frac{d}{{{A_1}{C_1}}}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
∴所求的A₁C₁与平面A₁B₁E所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题考查空间位置关系，涉及线面垂直和线面所成的角以及等体积法的应用，属中档题．