Question

6．正数x，y满足x³+y³=x-y，不等式x²+λy²≤1任意x，y为正数恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析 把x²+λy²≤1恒成立，转化为x³+y³≥（x-y）（x²+λy²）恒成立，展开后利用基本不等式得到$2\sqrt{λ+1}≥λ$，然后求解关于λ的不等式得其最值．

解答 解：若x²+λy²≤1恒成立，
则x³+y³≥（x-y）（x²+λy²）=x³+λxy²-yx²-λy³，
则（λ+1）y³+yx²≥λxy²，
∴（λ+1）y³+yx²≥$2\sqrt{（λ+1）{y}^{4}{x}^{2}}$=$2\sqrt{λ+1}x{y}^{2}$．
由$2\sqrt{λ+1}x{y}^{2}≥λx{y}^{2}$．
得$2\sqrt{λ+1}≥λ$，
∴4（λ+1）≥λ²，
解得：2-2$\sqrt{2}$≤λ≤2+2$\sqrt{2}$．
∴实数λ的最大值为$2+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了不等式的应用，是中档题．