Question

4．已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2与x=$\frac{2}{3}$处都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对?x∈[-3，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-2与x=$\frac{2}{3}$代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最大值为f（-2），要使不等式恒成立，既要证f（-2）＜0，即可求出c的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b  …（1分）
∵f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2与x=$\frac{2}{3}$处都取得极值
∴f′（-2）=12-4a+b=0，f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$a+b=0…（3分）
解得a=2，b=-4 …（4分）
（Ⅱ） 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	c+3	↗	极大值c+8	↘	极小值c-$\frac{40}{27}$	↗	c-1

由表可知，当x=-2时，f（x）取得极大值也是最大值f（-2）=c+8 …（10）
∵对?x∈[-3，1]，不等式f（x）＜0恒成立，
∴c+8＜0，解得c＜-8．…（12分）

点评 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，属于中档题．