Question

9．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和CD，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=AD=AB=2CD，点E为棱SD的中点．
（1）求异面直线AE和SB所成角的余弦值；
（2）求直线AE和平面SBC所成角的正弦值；
（3）求面SAD和面SBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系D-xyz，利用数量积计算cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{SD}$＞即可；
（2）所求值即为平面SBC的一个法向量与$\overrightarrow{AE}$的夹角的余弦值，计算即可；
（3）所求值即为平面SCD的一个法向量与平面SBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 解：（1）如图建立空间直角坐标系D-xyz，不妨设CD=1，
则SD=AD=AB=2，则A（2，0，0），E（0，0，1），B（2，2，0），S（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{SD}$=（-2，-2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{SD}$＞=$\frac{4+2}{\sqrt{5}•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即异面直线AE和SB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（2）由（1）可得，$\overrightarrow{CB}$=（2，1，0），$\overrightarrow{CS}$=（0，-1，2），
不妨设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面SBC的一个法向量，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CS}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，
不妨令y=2，可得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{2+1}{\sqrt{5}\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴直线AE和平面SBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$；
（3）由题意可知，$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）为平面SCD的一个法向量，
而cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{4}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以面SAD和面SBC所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查空间角的求法，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．