Question

17．如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求证：平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅲ）求二面角B-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中点F、AE的中点G，连结FG、GD、CF，利用三角形中位线定理即得结论；
（Ⅱ）通过线面垂直判定定理可得DG⊥平面ABE，进而由面面垂直判定定理即得结论；
（Ⅲ）以BC，BA所在射线分别为x，z轴，以垂直于BC所在线为y轴建立直角坐标系．所求值即为平面BDE的法向量与平面ADE的法向量的夹角的余弦值的绝对值．

解答 （Ⅰ）结论：当F为BE的中点时，CF∥平面ADE．
理由如下：
取BE的中点F、AE的中点G，连结FG、GD、CF，
∴GF=$\frac{1}{2}$AB，GF∥AB，
∵DC=$\frac{1}{2}$AB，CD∥AB，
∴CD平行且等于GF，∴CFGD是平行四边形，CF∥GD，
又CF?平面ADE，DG?平面ADE，
∴CF∥平面ADE；
（Ⅱ）证明：∵CF⊥BF，CF⊥AB，
∴CF⊥平面ABE，
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE，
∵DG?平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅲ）解：以BC，BA所在射线分别为x，z轴，以垂直于BC所在线为y轴建立直角坐标系，如图．
设AB=BC=2CD=2，B（0，0，0），D（2，0，1），A（0，0，2），$E（1，\sqrt{3}，0）$，
∴$\overrightarrow{BD}=（2，0，1），\overrightarrow{BE}=（1，\sqrt{3}，0），\overrightarrow{AD}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{AE}=（1，\sqrt{3}，-2）$，
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}2x+z=0\\ x+\sqrt{3}y=0\end{array}\right.⇒\overrightarrow{n_1}=（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-2）$，
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n_2}=（a，b，c）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AD}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}2a-c=0\\ a+\sqrt{3}b-2c=0\end{array}\right.⇒\overrightarrow{n_2}=（1，\sqrt{3}，2）$，
∵$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{1-1-4}{{\sqrt{1+\frac{1}{3}+4}•\sqrt{1+3+4}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，由图知，二面角B-DE-A的平面角为锐角，
∴二面角B-DE-A的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的判定以及二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题．