Question

8．函数f（x）=x-x³在[0，1]上的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{9}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 利用求导公式先求出函数导数，得到函数的单调性，即可得到函数的极大值点，即可求出最大值．

解答 解：∵f（x）=x-x³，x∈[0，1]
∴f′（x）=-3x²+1，
令f′（x）=0，
解得，x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当f′（x）＞0，即0≤x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x≤1，函数单调递减，
当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，函数取的最大值，即为f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）³=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
故选：D

点评 考查利用函数的导数研究函数在闭区间上的最值问题，属基础题．