Question

18．某班级举行投篮比赛，前两次是罚球区投篮，投中一次得2分，不中得0分．名次投篮互不影响，第三次是在三分线外，投中得3分，不中得0分，若前两次都没投中，则第三次不能再投，已知甲罚球区投篮一次命中率为$\frac{2}{3}$，三分线外投篮受心理影响，前两次投中1，2次对应的第三次投中的概率依次是$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$
（1）求甲第三次投篮但没投中的概率；
（2）求甲得分的分布列和均值（数学期望）

Answer 1

分析 （1）设“甲第三次投篮但没投中”为事件A，可知：甲在前两次投篮中至少投中一次．利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（2）设甲得分为ξ，由题意可得ξ=0，2，4，5，7．利用相互独立事件的概率计算公式可得概率及其分布列、及其数学期望．

解答 解：（1）设“甲第三次投篮但没投中”为事件A，可知：甲在前两次投篮中至少投中一次．
∴P（A）=${∁}_{2}^{1}\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$×$（1-\frac{2}{5}）$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{20}{45}$．
（2）设甲得分为ξ，由题意可得ξ=0，2，4，5，7．
P（ξ）=$（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{9}$．P（ξ=2）=${∁}_{2}^{1}\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$×$（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{4}{15}$，P（ξ=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{8}{45}$．P（ξ=5）=${∁}_{2}^{1}\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{45}$，
P（ξ=7）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{5}$=$\frac{4}{15}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	4	5	7
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{4}{15}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{9}$+2×$\frac{4}{15}$+4×$\frac{8}{45}$+$5×\frac{8}{45}$+7×$\frac{4}{15}$
=4．

点评 本题考查了用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、古典概率计算公式、组合数的计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．