Question

13．一学校体育老师，5个擅长篮球，2个擅长足球，随机选2人，设x为即擅长篮球又擅长足球的人数，已知P₁ （x＞0）=$\frac{7}{10}$，
①求有多少体育老师．
②x分布列，数学期望与方差．

Answer 1

分析 ①设既擅长篮球也擅长足球共有x人，则该校的体育教师有（7-x）人，那么只擅长一项的人数为（7-2x）人，利用P（X＞0）=$\frac{7}{10}$，建立方程，即可求得该校的体育教师的人数；
②X的可能取值为0，1，2，计算概率，即可求得数学期望与方差．

解答 解：①设既擅长篮球也擅长足球共有x人，则该校的体育教师有（7-x）人，那么只擅长一项的人数为（7-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=$\frac{7}{10}$，
∴1-$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，…（4分）
整理为：37x²-221x+294=0，∴x=2，
∴7-2=5，即艺术社团有5人…（6分）
②X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{3}{10}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；P（X=2）=$\frac{1}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$…（10分）
∴E（X）=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$…（12分）
D（X）=（0-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{5}$+（2-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{25}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的概率与期望，解题的关键是正确求出概率，利用期望公式求解．