Question

6．根据新修订的“环境空气质量标准”指出空气质量指数在0-50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数．从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[40，50），由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图，
（1）求a的值
（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值
（3）用着50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率，如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”，从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级‘的天数为ζ，求ζ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值；
（2）利用每个小矩形的面积乘以对应的空气质量中间值，再加起来即为所求；
（3）指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3），分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）再列出表格求出期望．

解答 解：（1）由题意得，（0.01+a+0.032+0.03+0.008）×10=1，解得a=0.02
（2）50个样本中空气质量指数的平均值为
$\overline{X}$=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值为25.6
（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，
且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）
ξ的可能取值为0，1，2，则P（ξ=0）=C${\;}_{2}^{0}$（0.3）⁰×（0.7）²=$\frac{49}{100}$，
P（ξ=1）=C${\;}_{2}^{1}$（0.3）¹×（0.7）¹=$\frac{42}{100}$，P（ξ=2）=C${\;}_{2}^{2}$（0.3）²×（0.7）⁰=$\frac{9}{100}$，
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{9}{100}$

期望Eξ=0×$\frac{49}{100}$+1×$\frac{42}{100}$+2×$\frac{9}{100}$=0.6（或者Eξ=2×0.3=0.6）
故答案为：（1）0.02（2）25.6（3）分布列如上表，期望0.6．

点评 本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题