Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}+m}$，m∈R
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值，求m的值；
（Ⅱ）证明：当＜a＜b＜1时，有be^a+a＜ae^b+b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，由x=1是f（x）的极值点，可得f′（1）=0，可得m=0，检验即可；
（Ⅱ）取m=-1，求出f（x）的导数，构造函数h（x）=e^x（1-x）-1，再求导数，判断在x＞0上的单调性，再运用条件，结合单调性即可得证．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}+m}$，则f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）+m}{（{e}^{x}+m）^{2}}$，
由x=1是f（x）的极值点，得f′（1）=$\frac{m}{（e+m）^{2}}$=0，
解得m=0，
此时f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，经检验，x=1是f（x）的极值点．
则所求的实数m的值为0．
（Ⅱ）证明：取m=-1时，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，此时f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．
构造函数h（x）=e^x（1-x）-1，
则h'（x）=e^x（1-x）+e^x（-1）=-xe^x在（0，+∞）上恒负，
即有h（x）在（0，+∞）上单调递减，
即有h（x）＜h（0）=0，
故f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
说明f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$在（0，+∞）上单调递减．
即有当0＜a＜b＜1时，$\frac{b}{{e}^{b}-1}＜\frac{a}{{e}^{a}-1}$，
又因为e^b＞e^a＞1，所以e^b-1＞0，e^a-1＞0，
则有b（e^a-1）＜a（e^b-1），
所以be^a+a＜ae^b+b成立．

点评 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．