Question

20．判断满足下列条件的三角形形状．
（1）acosA=bcosB；
（2）acosB=bcosA．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化边为角，然后利用角的正弦值相等得到角的关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正弦定理化边为角，由两角差的正弦公式得到sin（B-A）=0，再由角的范围得到A=B，从而判断三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．
（1）∵acosA=bcosB，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形；
（2）∵bcosA=acosB，
∴sinBcosA=sinAcosB，
sinBcosA-sinAcosB=0，
∴sin（B-A）=0，
∵-π＜B-A＜π，
∴B-A=0，即A=B．
∴△ABC为等腰三角形．

点评 本题考查三角形形状的判定，考查了正弦定理得用法，灵活运用两角和与差的三角函数是解答该题的关键，是中档题．