Question

12．已知在A-BCD的四面体中，AB⊥平面BCD，AD=3，CD=$\sqrt{2}$CB，则四面体A-BCD的最大体积为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设BD=2m，求出AB=$\sqrt{9-4{m}^{2}}$，BD边上的高的最大值为2$\sqrt{2}$m，可得体积，利用基本不等式，即可求出四面体A-BCD的最大体积．

解答 解：根据题意，设BD=2m，所以在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{9-4{m}^{2}}$（AB为四面体A-BCD的高），
因为CD=$\sqrt{2}$CB，以BD所在直线为x轴，以其中垂心为y轴，设C（x，y），由CD=$\sqrt{2}$CB得C的轨迹为圆．
所以在底面△BCD中，BD边上的高的最大值为2$\sqrt{2}$m，
所以底面△BCD面积的最大值为S=2$\sqrt{2}$m²，
所以四面体A-BCD的最大体积为V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S•h=$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$m²•$\sqrt{9-4{m}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×（$\sqrt{2}$m•$\sqrt{2}$m•$\sqrt{9-4{m}^{2}}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{2{m}^{2}•2{m}^{2}•（9-4{m}^{2}）}$
≤$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{（\frac{2{m}^{2}+2{m}^{2}+9-4{m}^{2}}{3}）^{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$•3$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$（基本不等式求最值）．
即四面体A-BCD体积的最大值为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查四面体A-BCD的最大体积，考查学生分析解决问题的能力，确定BD边上的高的最大值是关键．