Question

16．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点，且$\frac{AE}{ED}$=$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，已知AB=CD=3，EF=$\sqrt{5}$，求异面直线AB和CD所成的角．

Answer 1

分析 在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，可证∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，在△EFG中由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°，可得答案．

解答 解：（如图）在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，
在△BCD中，可得$\frac{BG}{GD}$=$\frac{BF}{FG}$，故有FG∥DC，
同理在△ABD中，可得GE∥AB，
所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，$\frac{FG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，得FG=1，
在△ABD中，由EG∥AB，AB=3，$\frac{EG}{AB}$=$\frac{2}{3}$，得EG=2，
在△EFG中，由EG=2，FG=1，EF=$\sqrt{5}$，则EG²+FG²=EF²，
由勾股定理的逆定理，可得∠EGF=90°，
所以异面直线AB和CD所成角为90°．

点评 本题考查异面直线所成的角的求法，涉及勾股定理的逆定理的应用，属中档题．