Question

7．设函数f（x）=ae^x-x-2（a∈R），其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，且x∈（0，+∝）时，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）²恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，判断单调性，即可得到极值；
（2）求出f（x）的导数和切线的斜率，解得a=1，由k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0）①，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，则g′（x）=$\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．得h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零点a，由g（x）_min=g（a）=$\frac{a+1}{{e}^{a}-1}$+a．从而g（a）=a+1∈（2，3）．由于①式等价k＜g（a），故求出整数K的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=ae^x-x-2的导数为f′（x）=ae^x-1，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，无极值；
当a＞0时，当x＞ln$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜ln$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=ln$\frac{1}{2a}$处f（x）取得极小值，且为ln（2a）-$\frac{3}{2}$．
即有当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值ln（2a）-$\frac{3}{2}$．无极大值．
（2）函数f（x）=ae^x-x-2的导数为f′（x）=ae^x-1，
在点（0，f（0））处的切线斜率为k=a-1=0，解得a=1，
由x∈（0，+∞）时，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）²恒成立，
即k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0）①，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，则g′（x）=$\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．
由（1）知，函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零点a，
且a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g'（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，
所以g（x）_min=g（a）=$\frac{a+1}{{e}^{a}-1}$+a．
又由g'（a）=0，即得e^a-a-2=0，所以e^a=a+2，
这时g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等价k＜g（a），
故整数k的最大值为2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查导数的几何意义，不等式恒成立思想和分类讨论的思想，属于中档题和易错题．