Question

1．已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与平面α所成角分别为30°和45°．A在α上射影为E．
（1）求斜边BC上的高AD与平面α所成的角及AB与平面ADE所成的角．
（2）设△ABC的面积为S，求△ABC在α上的射影三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）设AE=x，则AB=2x，AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{6}$x，求出AD，AB⊥平面CDE，∠ADE是AD与平面α所成的角，由此能求出AD与平面α所成的角．∠ABD就是AB与平面ADE所成的角，求解即可．
（2）直接利用二面角的大小，求解DE，然后求解面积即可．

解答 解：（1）如图：
∵AE⊥α，∴DE⊥BC，AE⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ACE是AC和α所成的角，即∠CAE=45°，
∠ABE是BC和α所成的角，即∠ABE=30°，
设AE=x，则AC=2x，AC=$\sqrt{2}$x，
∵AC⊥AB，∴AB=$\sqrt{6}$x，AD=$\frac{2\sqrt{2}{x}^{2}}{\sqrt{6}x}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}x$，
CD⊥AD，AE⊥BC，
∴BC⊥平面ADE，
DE⊥BC，
∴∠ADE是AD与平面α所成的角，
sin∠CDE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{x}{\frac{2}{\sqrt{3}}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADE=60°，
∴AD与平面α所成的角为60°．
由BC⊥平面ADE，
可知∠ABD就是AB与平面ADE所成的角，sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}x}{2x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠ABD=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）因为AD与平面α所成的角为60°．
所以，可得cos60°=$\frac{DE}{AD}$，DE=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，△ABC的面积为S，所以S=$\frac{1}{2}BC•AD$=$\frac{1}{2}BC\frac{2}{\sqrt{3}}x$=$\frac{BC•x}{\sqrt{3}}$，
△ABC在α上的射影三角形的面积为：$\frac{1}{2}BC•DE$=$\frac{1}{2}BC•\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{S}{2}$．

点评 本题考果直线与平面所成角的求法，二面角的求法与应用，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．